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Impuls und Impulserhaltung

Def.: Unter dem Impuls p eines Körpers verstehen wir das Produkt aus seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit v, kurz

p = m v

Wechselwirken zwei Körper durch anziehende oder abstoßende Kräfte miteinander, so bleibt, wie wir später am Beispiel des unelastischen Stoßes sehen werden, die Energie nicht immer erhalten, wohl aber der Gesamtimpuls. Wir versuchen das an einem Spezialfall zu verstehen:

Zwei Massen m₁ und m₂ sind durch eine gespannte Feder verbunden, die sich entspannt und die Körper auseinander treibt. Haben sie vorher keine Geschwindigkeit, d.h. v₁ = v₂ = 0, so sind die Geschwindigkeiten u₁ und u₂ nachher beide ungleich Null und einander entgegengesetzt. Lassen sie sich berechnen?

Wir gehen davon aus, dass die auseinander treibende Kraft F bei beiden zu jedem Zeitpunkt gleich groß ist:

F₁ = - F₂

(3. Newtonsches Gesetz, das Minuszeichen für die Gegenrichtung)
Diese Kräfte führen zu den Beschleunigungen a₁ und a₂, gemäß

m₁ a₁ = - m₂ a₂

(2. Newtonsches Gesetz F = m a )

Schreiben wir die Beschleunigungen um, per Definition a = [math]\frac{\Delta v}{\Delta t}[/math]

so ergibt sich

m₁ [math]\frac{\Delta u_1}{\Delta t}[/math] = - m₂ [math]\frac{\Delta u_2}{\Delta t}[/math]

Multiplizieren wir mit Delta t durch, so haben wir

m₁ [math]\Delta u_1[/math] = - m₂ [math]\Delta u_2[/math]

Die Impulsänderungen sind also zu jedem Zeitpunkt einander gegengleich.
Damit sind auch die Impulse am Ende der Entspannung bei beiden Körpern gegengleich:

m₁ u₁ = - m₂ u₂

oder auch: die Summe Ihrer Impulse nachher ist Null:

m₁ u₁ + m₂ u₂ = 0

Nun war aber die Summe ihrer Impulse vorher auch Null, also hat sich der Gesamtimpuls nicht verändert:

Gesamtimpuls vorher = Gesamtimpuls nachher

p                   =            p'

p1 + p2             =   p1' + p2'

Diese Impulserhaltung gilt allgemein gemäß dem Satz über die Impulserhaltung:

Die Summe aller Einzelimpulse eines abgeschlossenen Systems ist nach einer Wechselwirkung der Einzelmassen miteinander genauso groß wie vorher.

Anwendungsbeispiele:

• 1) Rakete (m₁ = Masse der Rakete, m₂ = Masse der Treibgase)
• 2) Zusammenstoß zweier Autos
• 3) Stoß zweier Billiardkugeln

Beispiel:
Impulserhaltung beim vollkommen unelastischen Stoß

Bei einem unelastischen Stoß wird die Materialverformung, die bei einem Stoß immer passiert, nicht mehr rückgängig gemacht.

Aufgabe 4.9: Strafstoß

Auf einen Fußball der Masse 450 g wirkt 0,030 s lang die Kraft 400 N .

• a) Welchen Impuls erhält er dadurch?
• b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Balls nach dem Stoß!
• c) Welche Beschleunigung erfährt der Ball durch die Kraft?
• d) Berechnen Sie mit dieser Beschleunigung die Endgeschwindigkeit des Balls!

Lösung

Aufgabe 4.10: Und tschüß!

Eine flotte Badenixe (Körpermasse 55 kg, Körpermaße traumhaft) springt mit einer Geschwindigkeit von 4,0 m/s waagrecht vom Bug einer 2,0 t - Segeljacht, die still im Wasser liegt. Mit welcher Geschwindigkeit fährt das Boot nun in die Gegenrichtung?

Lösung

Aufgabe 4.11: Aufschlag

Auf einen Tennisball der Masse 70 g wirkt beim Aufschlag eine mittlere Kraft von 30 N .

• a) Wie lange wirkt die Kraft auf ihn ein, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 25 m/s aus der Ruhe wegfliegt?
• b) Wie groß ist der Betrag der Impulsänderung, wenn er den Schläger des Gegners ebenso lang berührt und dabei eine Kraft von 55 N erfährt?
• c) Mit welcher Geschwindigkeit kommt er zurück?

Lösung

Aufgabe 4.12: Flummy

Ein Gummiball der Masse 200 g fällt aus der Ruhe 0,35 s lang frei herab.

• a) Welchen Impuls hat er, wenn er den Boden berührt?
• b) Wie groß ist seine Impulsänderung, wenn er nach dem Aufprall mit einer Geschwindigkeit von 3,1 m/s zurückspringt?
• c) Welche mittlere Kraft wirkt auf den Ball, wenn die Berührung 4,3 10^-2 s dauert?

Lösung

Aufgabe 4.13: Bilderbuch-Start

Eine Rakete der Masse 180 t soll von der Erdoberfläche aus senkrecht starten.

• a) Welche Schubkraft muss das Verbrennen des Treibstoffs erzeugen, damit die Rakete gerade schwebt?
• b) In einer Sekunde werden Verbrennungsgase der Masse 0,89 t mit der Geschwindigkeit 5,0 km/s ausgestoßen. Welche Schubkraft wird dadurch hervorgerufen?
• c) Mit welcher Beschleunigung hebt die Rakete ab?

Lösung

Aufgabe 4.14: Schützenfest

Eine Gewehrkugel der Masse 60 g verlässt den Lauf eines Gewehrs der Masse 11 kg mit der Geschwindigkeit 1,1 km/s .

• a) Erklären Sie den Rückstoß bei Abschuss!
• b) Berechnen Sie die Rückstoßgeschwindigkeit!
• c) Welche mittlere Kraft wirkt auf den Schützen, wenn er den Rückstoß in 0,20 s auffängt?

Lösung

Aufgabe 4.15: Wand-Wurf

Ein Knetgummibällchen der Masse 250 g wird mit der Geschwindigkeit 20 m/s gegen eine starre Wand geworfen und bleibt daran kleben.

• a) Welche Impulsänderung erfährt es beim Aufprall?
• b) Wohin geht dieser Impuls? Welche Auswirkung hat dies? (Hinweis: Die Masse der Erde beträgt 6,0 10²⁴ kg)
• c) Berechnen Sie den Energieverlust des Bällchens! Wohin geht diese Energie?

Lösung

Aufgabe 4.16: Verkehrsunfall

Ein Kleinbuss der Masse 1,7 t fährt mit der Geschwindigkeit 54 km/h von hinten auf einen Smart der Masse 650 kg auf, der sich mit der Geschwindigkeit 36 km/h in gleicher Richtung bewegt (Auffahrunfall). Der Stoß soll zur Vereinfachung als vollkommen unelastisch angenommen werden.

• a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der beiden Wägen nach dem Zusammenstoß!
• b) Wie viel kinetische Energie verliert der Bus beim Aufprall?
• c) Wohin geht diese und wie viel Energie geht in die Deformation der Fahrzeuge?
• d) Berechnen Sie a) - c) für den Fall, dass der Smart auf den Bus zufährt! (Frontalzusammenstoß)

Lösung

Vollkommen elastischer Stoß

Betrachten wir folgenden Vorgang: Eine Billardkugel stößt mit der Geschwindigkeit v1 zentral auf eine gleichartige, ruhende Kugel. Was wird passieren? Richtig: Sie tauschen ihre Bewegungen aus, das heißt die zuerst ruhende Kugel rollt weiter, die stoßende Kugel kommt zum Stehen. Lässt sich das beweisen?

Zunächst benötigen wir Formeln für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß, genauer 2 Formeln, da sich die beiden Stoßpartner mit verschiedenen Geschwindigkeiten weiter bewegen. Diese herzuleiten ist ziemlich mühsam, deshalb wollen wir sie mitteilen: Beim vollkommen elastischen Stoß wird jede Materialverformung der Stoßpartner wieder vollständig rückgängig gemacht, deshalb gilt außer der Impulserhaltung auch noch die Energieerhaltung (im Gegensatz zum unelastischen Stoß). Aus beiden Ansätzen folgt nach etlichen Umformungsschritten für die beiden Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

[math]u_1 = \frac{(m_1-m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}[/math]

[math]u_2 = \frac{(m_2-m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}[/math]

Wie leicht zu sehen ist, genügt es, sich eine der beiden Formeln zu merken, da die andere durch Vertauschen der Indizes daraus hervor geht. Darin spiegelt sich die Symmetrie des Prozesses wieder.

Werten wir nun die Formeln aus für den Fall der stoßenden Billardkugeln, so ergibt sich u1 = 0 und u2 = - v1 , wie behauptet. Die kinetische Energie bleibt erwartungsgemäß erhalten.

Etwas mühsamer ist die Rechnung für das Beispiel eines hoch elastischen Gummiballs ("Flummy"), der gegen eine starre Wand geworfen wird. Die gegebenen Größen wären dann v1, m1, v2 = 0 und m2 =00 kg. Soll heißen, dass wir in der Rechnung m2 gegen unendlich gehen lassen können.

Zur Berechnung empfiehlt es sich, den Bruch mit m2 zu kürzen, dann lässt sich der Grenzübergang ausführen.

Es folgt u1 = - v1 , das heißt die Geschwindigkeit des Flummys bleibt betragsmäßig gleich, ändert nur die Richtung. Auch dies erwarten wir direkt aus dem Energieerhaltungssatz.

Wir haben nun ein gewisses Vertrauen zu den beiden Formeln aufgebaut, ohne sie bewiesen zu haben. In Aufgabe 4.17 werden sie erneut benutzt, diesmal für den allgemeinen Fall, dass sich beide Stoßpartner vorher bewegen.

Aufgabe 4.17: Autoscooter

Ingo und Heinz prallen mit ihrem Gefährt (Gesamtmasse 320 kg) mit einer Geschwindigkeit von 3,0 m/s auf den Wagen von Petra (Gesamtmasse 245 kg), der sich mit 1,0 m/s in gleicher Richtung bewegt (Stoß A).
Der Zusammenstoß zweier Wägelchen eines Autoscooters darf dabei als vollkommen elastisch betrachtet werden.

• a) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der Wagen nach dem Stoß!
• b) Zeigen Sie, dass die mechanische Energie erhalten bleibt!
• c) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten nach den Stoß für den Fall, dass Petra mit 5,0 m/s auf Ingo und Heinz zu fährt, die ihr mit 1,0 m/s entgegenkommen (Stoß B).
• d) Wie groß sind die Impulsänderungen, die Petra bei Stoß A bzw. B erfährt, wenn ihre Körpermasse 45 kg beträgt?
• e) Welche Kraft erfährt sie jeweils, wenn die Stöße 0,20 s dauern?

Lösung

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