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Kreisbewegungen

Wir alle kennen eine Fülle von Bewegungen, die kreisförmig ablaufen, sei es die Bewegung des Zeigers einer Uhr, die der Trommel einer Waschmaschine oder eines Karussells. Es kann durchaus Spaß machen, sie zu beobachten oder daran teil zu nehmen. Vom Standpunkt der Physik aus gibt es Kreisbewegungen im atomaren Bereich (Bewegung eines Elektrons um den Atomkern) bis hin zu dem riesigen Kreis, den ein Stern um das Zentrum seiner Galaxie beschreibt. Es macht also Sinn, sich ein Instrumentarium von geometrischen und physikalischen Größen zurecht zu legen, mit dem sich Kreisbewegungen beschreiben lassen.

Beginnen wir mit dem Kreisradius r , dann dem Kreisbogen b als zurückgelegter Strecke auf dem Kreis, der Zeit, während der die Bewegung abläuft, der Geschwindigkeit v längs des Kreises, der Periodendauer T für eine vollständige Umdrehung bei konstanter Rotationsgeschwindigkeit, der Frequenz f der Drehung, und schließlich der vom Radius überstrichene Winkel [math]\phi[/math] und die Winkelgeschwindigkeit [math]\omega[/math].

Die Kreisgeschwindigkeit definieren wir wie gewohnt als Differenzenquotient

[math]v = \frac{\Delta b }{\Delta t}[/math]

und analog dazu nun die Winkelgeschwindigkeit als überstrichener Winkel durch dazu benötigte Zeit

[math]\omega = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}[/math]

Berechnungsbeispiel:
Der große Zeiger einer Uhr legt den Vollwinkel [math]2 \pi[/math] (der Winkel wird praktischer Weise immer in Bogenmaß angegeben) in 1 Stunde zurück. Also gilt

[math]\omega = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{2 \pi}{1 h } = 2 \pi h ^{-1} = \frac{2 \pi}{3600 } s^{-1}[/math]

Die Einführung der Winkelgeschwindigkeit macht vor allem dadurch Sinn, dass sich damit bequem die Geschwindigkeit auf dem Kreis berechnen lässt.

Allgemein gilt:

[math]b = r \phi[/math], und da r konstant ist [math]\Delta b = r \Delta phi[/math]

also

[math]v = \frac{\Delta b }{ \Delta t} = r \frac{\Delta \phi }{ \Delta t} = r \omega = \omega r[/math]

[math] \;v = \omega r[/math]

Für die den großen Zeiger der Turmuhr nebenan ergibt sich bei einem Radius von 2,0 m :

v = 3,5 mm/s(!)

Zentralkraft (= Zentripetalkraft)

Ein Körper, auf den keine Kraft wirkt, bewegt sich nach dem Newtonschen Trägheitssatz geradlinig und gleichförmig. Wollen wir ihn auf eine kreisförmige Bahn bringen, z. B. in die Umlaufbahn um einen Planeten, so ist dazu eine Kraft erforderlich, die stets zum Mittelpunkt des Kreises hin wirkt, die Zentralkraft. Im Falle des kreisens der Erde um die Sonne ist dies die Anziehungskraft, die zwischen den beiden Himmelskörpern wirkt.

Betrachten wir einen Gegenstand, der an einer Schnur über dem Kopf im Kreis geschwungen wird, so wirkt die Zentralkraft längs der Schnur. Die Hand spürt, dass sie ziehen muss, um den Kreis zu erzeugen, lässt sie die Schnur los, fliegt der Gegenstand geradlinig davon. Der Widerstand des Gegenstands gegen die Zugkraft der Hand ist seine Trägheitskraft, sie zieht die Hand nach außen. Das Auftreten von Trägheitskräften ist als Reaktion auf beschleunigende Kräfte ganz normal, denken wir etwa an den Trägheitswiderstand einer Kugel beim Kugelstoß. Die Zentralkraft führt also zu einer Beschleunigung des Gegenstands und einer laufenden Änderung seiner Bewegungsrichtung.

Nun wollen wir untersuchen, wovon der Betrag der Zentralkraft abhängt. In Frage kommen

• die Masse des Körpers
• der Radius des Kreises und
• die Drehfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit

Die Kraft wird wohl mit allen drei Größen zunehmen.

Mitteilung: Die Zentralkraft berechnet sich aus der Beziehung

Fz = m [math]\omega^2[/math] r

d. h., sie steigt proportional zur Masse und zum Radius an, und quadratisch mit der Winkelgeschwindigkeit.

Wir überprüfen die Formel mit einem eigens für die Schule entwickelten Apparat, dem Zentralkraftgerät:

1. Drehachse
2. Dreharm (Schiene)
3. Versuchswagen
4. Skala für die Radiusbestimmung
5. Massenstücke
6. Kraftmesser

Die Messung zeigt: Bis auf einen kleinen Fehler, den wir der Reibung des Wägelchens auf der Schiene zuschreiben können, ist der berechnete Kraftwert gleich dem gemessenen, was unser Vertrauen in die Formel stärkt. Zu beachten ist auch, dass die Einheiten auf der rechten Seite der Gleichung gerade das Newton ergeben, die Einheit der Kraft. So muss es auch sein!

Zentrifugalkraft

Der Fahrgast eines Karussells erlebt eine Kraft, die ihn nach außen zieht, weg vom Zentrum der Bewegung. Wir nennen sie Fliehkraft oder Zentrifugalkraft (fugere (lat.) = fliehen). Sie existiert nur in dem rotierenden Bezugssystem. Von außen betrachtet handelt es sich hier um seine Trägheitskraft.

Ohne Wandung des Karussells wird er durch sie herausgeschleudert. Die Wandung des Karussels übt eine gleich große Reaktionskraft auf den Fahrgast aus, und so bleibt er in seinem Bezugssystem in Ruhe.

Für die Zentrifugalkraft gilt die gleiche Berechnungsformel wie für die Zentralkraft, da es sich um ein- und dasselbe Kräftepaar handelt, das je nach Bezugssystem anders zu interpretieren ist.

Aufgabe 5.1: Drehwurm

Peterchen fährt auf dem Kinderkarussell in 5 Minuten 13 mal im Kreis herum.

• a) Sein Papa ist Physiker und berechnet inzwischen Frequenz, Umlaufdauer und Winkelgeschwindigkeit der Bewegung.

Welche Ergebnisse bekommt er? Peterchen will nochmal fahren, so kann er noch berechnen

• b) welchen Drehwinkel das Karussell in 10 s zurücklegt
• c) wie lange es dauert, bis ein Drehwinkel von 5 pi überstrichen wird und
• d) welchen Weg Peterchen in 2 Minuten zurücklegt, wenn der Radius des Karussells 5,0 m beträgt.

Was erhält er?

Lösung

Aufgabe 5.2: ... und sie dreht sich doch! ...

a) Der Lauf der Erde um die Sonne erfolgt näherungsweise auf einem Kreis mit Radius 8,3 Lichtminuten. Berechnen Sie die Winkel- und die Umlaufsgeschwindigkeit der Erde um die Sonne.

b) München bewegt sich auf einem Breitenkreis um die Erdachse. Berechnen Sie die Umlaufsgeschwindigkeit, wenn die geografische Breite Münchens [math]\phi[/math] = 48,1° beträgt.

Lösung

Aufgabe 5.3: Vollmond

Der Mond dreht sich in 27,3 d einmal um die Erde (sog. siderische Umlaufdauer).

• a) Wieso dauert es von Vollmond zu Vollmond um ca. 1/12 dieser Zeitspanne länger? Berechnen Sie diese sog. synodische Umlaufdauer!
• b) Wieviel Tagen entsprechen demnach 12 Vollmond-Monate? Warum ist das kürzer als 1 Jahr?
• c) Ein LASER-Strahl wird an einem Spiegel auf der Mondoberfläche reflektiert und kommt nach 2,56 s wieder zur Erde zurück. Berechnen Sie daraus die Bahngeschwindigkeit des Mondes.

Lösung

Aufgabe 5.4: Luftkampf

Selbst ein trainierter Pilot eines Kampfjets überlebt bestenfalls Beschleunigungen von der Größe der zehnfachen Fallbeschleunigung. Mit welcher Geschwindigkeit kann er höchstens eine Kurve vom Radius 2,0 km durchfliegen?

Lösung

Aufgabe 5.5: Höllenmaschinen

a) Ein Oktoberfest-Karussell dreht sich in 2 Minuten 15 mal um die eigene Achse.
Wie groß ist die Zentralbeschleunigung, wenn der Radius 5,3 m beträgt? Vergleichen Sie diese mit der Fallbeschleunigung!

b) Die Fahrgäste eines Teufelsrads befinden sich im Innern eines Zylinders, bei dem der Boden wegklappt. Durch die Zentralbeschleunigung werden Sie so fest an die Wandung gedrückt, dass sie nicht abrutschen können.
Mit welcher Frequenz muss sich ein Zylinder vom Radius 4,2 m mindestens drehen, damit die Haftreibung (Reibzahl 0,1) ausreicht?

Tipp: Für die Reibungskraft F_R gilt der Zusammenhang F_R = [math]\mu[/math] F_N , wobei die Normalkraft F_N die andrückende Kraft ist und senkrecht zur Reibfläche (hier die Wandung) wirkt.

Lösung

Aufgabe 5.6: Schleuderball mit Tücken

Ein Ball der Masse 0,80 kg wird an einer 50 cm langen Schnur auf einem vertikal stehenden Kreis herumgeschleudert.
a) Berechnen Sie die Zentralkraft, die Schnur im höchsten und im tiefsten Punkt der Bahn auf ihn ausübt, wenn die Umlaufgeschwindigkeit konstant 3,4 m/s beträgt!

Nun wird der Ball auf einem waagrechten Kreis immer schneller geschleudert.
b) Bei welcher Frequenz reißt die Schnur, wenn die Reißfestigkeit 50 N beträgt?
c) Mit welcher Geschwindigkeit fliegt der Ball dann waagrecht weg?

Lösung

Aufgabe 5.7: Dosenflug

Eine Getränkedose wird an einer Schnur auf einem vertikalen Kreis mit dem Radius 1,0 m herumgeschleudert.

• a) Welche Geschwindigkeit hat die Dose im höchsten Punkt, wenn die Schnur dort gerade noch gespannt ist?
• b) Wie groß ist diesem Fall die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt der Bahn?
• c) Wie hoch kann die Dose fliegen, wenn man die Schnur los lässt?

Lösung

Aufgabe 5.8: Looping

Ein Versuchswagen soll eine vertikale Kreisbahn (Looping) vom Radius r durchfahren. Welche Höhe h muss der Startpunkt gegenüber dem tiefsten Punkt mindestens haben, damit der Wagen oben im Looping nicht heraus fällt? Die Reibung darf vernachlässigt werden.

Lösung

Aufgabe 5.9: Nervenkitzel

In einer Haarnadelkurve vom Radius 20 m ist die Höchstgeschwindigkeit auf 40 km/h begrenzt. Ein Motorrad der Gesamtmasse 250 kg fährt auf die Kurve zu.

• a) Welchen Neigungswinkel muss der Fahrer wählen, um bei der zugelassenen Höchstgeschwindigkeit die Kurve zu durchfahren?
• b) Wie groß muss die Haftreibungskraft der Reifen auf der Straße sein, damit die Maschine nicht nach außen wegrutscht?
• c) Ein Fahrer ignoriert die Beschränkung der Geschwindigkeit und fährt mit 80 km/h in die Kurve ein. Um welchen Winkel muss er sich gegen die Vertikale neigen? Um wie viel Prozent müsste die Haftreibungskraft größer sein als in b) , damit er in der Kurve bleibt?
• d) Bei regennasser Straße ist die Haftkraft um bis zu 70 % gegenüber der trockenen Straße herabgesetzt. Welche Geschwindigkeit würden Sie Ihrem Freund empfehlen?

Lösung

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