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Experiment 4.1: Senkrechter Wurf

Wir wenden das Prinzip der Energieerhaltung an um das Ergebnis eines Versuchs vorauszuberechnen:

Aufgabenstellung:
Mittels einer elastischen Schraubenfeder soll ein Pfeil genau bis an die Decke des Raums katapultiert werden. Wie weit muss die Feder dazu gedehnt werden?

Lösung:
Wir gehen von der vollständigen Umwandlung der Spannenergie der Feder in potenzielle Energie des Pfeils am höchsten Punkt aus.
Wir setzen deshalb an:

E _spann = E _pot

1/2 D s ² = m g h

Wir erkennen, dass zur Berechnung der Federdehnung s neben der Wurfhöhe h noch die Masse des Pfeils m und die Härte der Feder D gemessen werden müssen.

Wir ermitteln folgende Werte:

h = 2,3 m , m = 91,3 g , D = 40 N/m

nach der Formel

[math]s = \sqrt{ 2 m g h / D }[/math]

erhalten wir eine Dehnung von s = 32 cm .

In der Ausführung des Versuchs bleibt die tatsächlich erreichte Wurfhöhe deutlich hinter den berechneten 2,3 m zurück. Als Erklärung ist anzuführen, dass die Reibung des Pfeils an der Feder nicht vernachlässigt werden kann und dass die Feder eine Eigenmasse besitzt (m Feder = 65 g ), die zumindest teilweise mit beschleunigt wird.

Energieerhaltung beim freien Fall

Gehen wir von der vollständigen Umwandlung potenzieller in kinetische Energie aus, so gilt

E _kin = E _pot

wobei mit E _kin die kinetische Energie unten und mit E _pot die potenzielle Energie oben gemeint ist.

1/2 m v ² = m g h

Die Masse kürzt sich heraus:

1/2 v ² = g h

Physikalisch bedeutet dies, dass die Fallgeschwindigkeit nur von der durchfallenen Höhe abhängt, nicht jedoch von der Masse des fallenden Objekts!

Merke: Alle Körper fallen, unabhängig von ihrem Gewicht, "gleich schnell"!

Es folgt

v 2  = 2 g h 

Diese Formel kommt uns bekannt vor; sie ist identisch mit der Geschwindigkeitsformel
v ² = 2 a x
für konstante Beschleunigung aus der Ruhe. ( a = g , x = h ).
Sie ist also im Energieprinzip enthalten.

Entsprechend folgt die Formel

v ² - v ₀ ² = 2 a x

für den freien Fall:

v 2 - v0 2 = 2 g h 

aus dem Ansatz

E _pot = E _kin - E _{kin 0}

(freier Fall mit der Anfangsgeschwindigkeit v₀ nach unten).

Energieerhaltung beim Federpendel

Wenden wir nun unsere Erkenntnisse über die Erhaltung der mechanischen Energie auf ein noch interessanteres System an: Ein schwingendes Federpendel.
Wir werden damit beispielsweise in die Lage versetzt, die Geschwindigkeit der Schwingung in Abhängigkeit der Auslenkung vorherzusagen.

Betrachten wir eine elastische Stahlfeder, an der ein Massenstück als so genannter Schwinger hängt:
Er befindet sich nur dann in Ruhe, wenn sich Gewichtskraft (nach unten) und Federkraft (nach oben) genau aufheben. Lenken wir den Schwinger ein Stück nach unten aus der Ruhelage aus, so entsteht eine rücktreibende Kraft F , die ihn in die Ruhelage zurückzieht. Sie entsteht aus der zusätzlichen Dehnung der Feder, und lässt sich nach dem Hookeschen Gesetz für elastische Materialien berechnen:

F = - D x

Dabei ist x , die Auslenkung, in diesem Fall negativ, da sie nach unten erfolgt, entgegen der Orientierung der Achse. Die Kraft zieht dagegen nach oben, in der Gegenrichtung, daher das Minuszeichen.

Heben wir den Schwinger gegenüber der Ruhelage ein Stück an, so entsteht wiederum eine rücktreibende Kraft F nach unten, da die Federkraft kleiner wird und die Gewichtskraft nun überwiegt. Das obige Kraftgesetz gilt auch hier, x ist positiv, F negativ.

Insgesamt erkennen wir stets eine zur Ruhelage zurück treibende Kraft, wir sprechen deshalb von einer Rückstellkraft.

Betrachten wir nun eine einfache Feder, die gegenüber ihrem entspannten Zustand einmal um ein Stück s gestaucht, einmal um das gleiche Stück s gedehnt wird. Auch für sie gilt das obige Kraftgesetz, und die Arbeit, die zum Stauchen bzw. Dehnen jeweils hineingesteckt wird ist

W_spann = 1/2 D s²

Wir übertragen diese Idee auf das Federpendel und erkennen, dass nur zwei Energieformen auftreten, die Spannenergie

E_spann = 1/2 D x²

und die kinetische Energie

E_kin = 1/2 m v²

Im höchsten und tiefsten Punkt der Schwingung ist E_kin = 0 und in der Ruhelage ist E_spann = 0 , was ermöglicht, mit dem Energieerhaltungs-Ansatz die Geschwindigkeit des Pendels beim Durchgang durch die Ruhelage zu berechnen:

E_kin = E_spann

1/2 m v² = 1/2 D x₀²

[math]v = x_0 \sqrt{D/m}[/math]

Diese Formel überprüfen wir zum Test der Richtigkeit unserer Theorie im Experiment!

Aufgabe 4.8: Auf und nieder, immer wieder

Ein Federpendel der Masse 100 g schwingt harmonisch mit einer Federkonstanten von 25 N/m . Zum Zeitnullpunkt wird der Pendelkörper um 20 cm nach unten ausgelenkt.

• a) Skizzieren Sie den Verlauf einer vollständigen Schwingung im t-x-Diagramm! (Periodendauer T ^= 10 cm , 10 cm ^= 2 cm )
• b) Berechnen Sie die Spannenergie zum Zeitnullpunkt.
• c) Zu welchen Zeitpunkten ist die kinetische Energie des Schwingers null bzw. maximal?
• d) Berechnen Sie die Geschwindigkeit beim Durchgang durch die Ruhelage!
• e) Fertigen Sie mit den Zahlenwerten von d) ein t-v-Diagramm!
• f) Berechnen Sie die Geschwindigkeit 10 cm ober- bzw. unterhalb Ruhelage!

Lösung

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