GEOMETRÍA EUCLIDIANA

En este módulo aprenderás los nombres de los diversos tipos de ángulos. También conocerás los dos sistemas de medición de los ángulos y la relación entre las unidades de medición

ANGULOS

Objetivos

Al terminar de estudiar este módulo serás capaz de:

Explicar qué es un ángulo.
Identificar los diversos tipos de ángulos.
Calcular los valores de ángulos complementarios y ángulos suplementarios.
Identificar las medidas más importantes de los ángulos en grados y en radianes.
Convertir grados a radianes y viceversa.

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Conceptos clave del módulo

Definición de Ángulo

Ángulo es la abertura entre dos líneas rectas que se encuentran en el mismo plano y se intersectan (rectas secantes), el punto de intersección de éstas recibe el nombre de vértice. Los sistemas de medición más comunes para obtener la magnitud de un ángulo son: el sistema sexagesimal (grados), y el sistema cíclico (radianes).

[math]\text {Donde:} \,\![/math]

[math]\overline{A A'} \text { , } \overline{B B'} \text { : Lineas rectas que se cruzan en el plano.}[/math]

[math]O \text { : Vertice}\,\![/math]

[math]\angle \alpha \text { : Angulo } \alpha[/math]

[math]\overrightarrow{O A'} \text { , }\overrightarrow{O B'} \text {: Lados del angulo}[/math]

Tipos de Ángulos según su medida

Ángulo Agudo	Ángulo Recto	Ángulo Obtuso
Es aquél cuya magnitud es menor que 90º	Es aquél cuya magnitud es igual a 90º	Es aquél cuya magnitud es mayor que 90º

Ángulo Nulo	Ángulo Llano	Ángulo Cóncavo	Ángulo Perigonal
Es aquél cuya magnitud es igual a 0º	Es aquél cuya magnitud es igual a 180º	Es aquél cuya magnitud es mayor que 180º pero menor que 360º	Es aquél cuya magnitud es igual a 360º

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Tipos de Ángulos según su posición relativa

Ángulos Consecutivos	Ángulos Adyacentes	Ángulos Opuestos por el Vértice
Son aquellos que tienen un lado en común y además comparten el mismo vértice.	Son aquéllos que tienen un lado en común y los otros lados son colineales.	Al cruzar dos rectas en el plano se forman cuatro ángulos. De ellos, son ángulos opuestos por el vértice aquellos que poseen sólo el vértice en común.

[math]\angle AOB[/math] y [math]\angle BOC[/math] son Consecutivos.	[math]\angle COB[/math] y [math]\angle BOA[/math] son Adyacentes.	[math]\angle COB[/math] y [math]\angle AOD[/math] son Opuestos por el vértice. [math]\angle BOA[/math] y [math]\angle DOC[/math] son Opuestos por el vértice.

Propiedades de los ángulos Adyacentes.

Se cumple que:

[math]\angle COB + \angle BOA = 180^\circ\,\![/math]

Propiedades de los ángulos Opuestos por el Vértice.

Se cumple que:

[math]\angle COB = \angle AOD[/math]

[math]\angle BOA = \angle DOC[/math]

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante.

Cuando una línea recta transversal o secante intersecta dos rectas paralelas, se forma un conjunto de ocho ángulos cuya posición relativa ha sido profusamente estudiada. Matemáticamente se expresa así:

Dadas las rectas [math]\overline{AB} \parallel \overline{CB}[/math] y [math]\overline{EF}[/math] , se forman los siguientes ángulos:

Ángulos formados por dos rectas y una secante

Considerados de dos en dos, estos ángulos reciben los nombres siguientes:

Nombre	Descripción	Propiedades
Alternos Internos	Son dos ángulos internos no adyacentes, situados en distinto lado de la secante	[math]\angle 3 = \angle 5[/math] [math]\angle 4 = \angle 6[/math]
Alternos Externos	Son dos ángulos externos no adyacentes, situados en distinto lado de la secante	[math]\angle 1 = \angle 7[/math] [math]\angle 2 = \angle 8[/math]
Opuestos por el vértice	Son aquéllos que tienen el vértice en común y los lados de uno de sus ángulos.	[math]\angle 1 = \angle 3[/math] [math]\angle 2 = \angle 4[/math] [math]\angle 5 = \angle 7[/math] [math]\angle 6 = \angle 8[/math]
Correspondientes	Son dos ángulos no adyacentes, situados en un mismo lado de la secante, uno interno y otro externo	[math]\angle 1 = \angle 5[/math] [math]\angle 2 = \angle 6[/math] [math]\angle 4 = \angle 8[/math] [math]\angle 3 = \angle 7[/math]
Colaterales Internos (Suplementarios)	Son dos ángulos internos no adyacentes, situados en un mismo lado de la secante	[math]\angle 4 + \angle 5=180^\circ[/math] [math]\angle 3 + \angle 6=180^\circ[/math]
Colaterales Externos (Suplementarios)	Son dos ángulos externos no adyacentes, situados en un mismo lado de la secante	[math]\angle 1 + \angle 8=180^\circ[/math] [math]\angle 2 + \angle 7=180^\circ[/math]
Adyacentes (Suplementarios)	Son aquéllos que tienen un lado en común.	[math]\angle 1 + \angle 2=180^\circ \qquad \angle 5 + \angle 6=180^\circ[/math] [math]\angle 2 + \angle 3=180^\circ \qquad \angle 6 + \angle 7=180^\circ[/math] [math]\angle 3 + \angle 4=180^\circ \qquad \angle 7 + \angle 8=180^\circ[/math] [math]\angle 4 + \angle 1=180^\circ \qquad \angle 8 + \angle 5=180^\circ[/math]

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Tipos de Ángulos según la suma de sus medidas

Ángulos Complementarios	Ángulos Suplementarios
Son aquellos cuya suma es igual a 90º	Son aquellos cuya suma es igual a 180º

Tip: Los ángulos complementarios y suplementarios pueden estar geométricamente separados, sin compartir lados y/o vértices.

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Tipos de Ángulos según su orientación

Los ángulos pueden considerarse "sin orientación", sin embargo cuando sea necesario considerar el sentido de un giro se dotará de signo al ángulo correspondiente.

Ángulos Positivos	Ángulos Negativos
Son aquéllos que abren en sentido opuesto a las manecillas del reloj.	Son aquéllos que abren conforme el sentido de las manecillas del reloj.

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Conversión de medidas de ángulos

Un grado sexagesimal es la medida del ángulo central de un círculo, de amplitud igual a la 360 ava parte del mismo.

Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco de igual longitud al radio del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián y equivale a 57.296º.