Álgebra UNIDAD IV. Polinomios Tema FACTORIZACIÓN

MATEMÁTICAS - GUÍA DE ESTUDIO CENEVAL

Para la acreditación del Bachillerato (Acuerdo 286 SEP MÉXICO)

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Objetivos

Objetivos

Al terminar de estudiar este tema, el alumno: Conocerá las reglas básicas de factorización. Identificará los principales casos de factorización y será capaz de factorizar y será capaz de aplicarlas para factorizar monomios, binomios, trinomios y polinomios. Será capaz de hacer pruebas de factorización

Factores y Factorización

Factores en aritmética

En aritmética aprendimos que si multiplicamos [math]9[/math] por [math]8[/math] el resultado es [math]72[/math], por tanto, [math]72[/math] es igual a [math]9[/math] por [math]8[/math]. Los números [math]9[/math] y [math]8[/math] son factores de [math]72[/math] porque al multiplicarlos obtenemos el mismo número ([math]72[/math]). Esto se expresa aritméticamente así:

[math]9 \cdot 8 = 72 \qquad \rightarrow \qquad 72 = 9 \cdot 8 \qquad 9\text{ y }8 \text{ son factores de 72}[/math]

Ahora bien, [math]9[/math] y [math]8[/math] pueden a su vez descomponerse así:

[math] \begin{align} 9 & = 3 \cdot 3 \\ 8 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ \end{align} [/math]

Por tanto:

[math] \begin{align} 72 & = 9 \cdot 8 \\ & = (3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \end{align} [/math]

Al descomponer el número [math]72[/math] obtenemos el número [math]3[/math] multiplicado dos veces y el número [math]2[/math] multiplicado tres veces. Los números [math]3[/math] y [math]2[/math] son primos. Se dice entonces que [math]3[/math] y [math]2[/math] son factores primos de [math]72[/math], es decir:

[math]3^2 \cdot 2^3 = 72 \qquad\ \rightarrow\ \qquad 72=3^2 \cdot 2^3 \qquad \text{3 y 2 son factores primos de 72}[/math]

Observa la diferencia existente entre los conceptos "factores" y "factores primos"

Factores en álgebra

Si multiplicamos la expresión [math]a^2[/math] por la expresión [math]a+b[/math] el resultado es la expresión [math]a^3+a^2b[/math].

Por tanto [math]a^3+a^2b[/math] es el resultado de multiplicar [math]a^2[/math] por [math]a+b[/math].

Las expresiones [math]a^2[/math] y [math]a+b[/math] son factores de [math]a^3+a^2b[/math] porque al multiplicarlos obtenemos la misma expresión ([math]a^3+a^2b[/math]). Esto se expresa algebraicamente así:

[math]a^3+a^2b=a^2 \cdot (a+b)\qquad \rightarrow \qquad a^2 \text{ y }(a+b) \text{ son factores de }a^3+a^2b \,[/math]

De igual modo si:

[math]x^2-2x-3=(x+1)(x-3) \qquad \rightarrow \qquad (x+1) \text { y } (x-3) \text { son factores de } x^2-2x-3\,[/math]

Observa que en álgebra el símbolo de multiplicación [math]\text{( } \cdot \text{ )}[/math] puede ser omitido.

Definiciones

Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión.

Factorizar una expresión algebraica es:

• convertirla en el producto indicado de sus factores
• el proceso reverso de una multiplicación
• descomponerla en el producto de otras expresiones algebraicas más simples (factores), tal que al multiplicarlas todas resulta la expresión original.

factorización

---------------------------------------->

[math]a^3+a^2b=a^2 \cdot (a+b)[/math]

<----------------------------------------

multiplicación

Factorizar monomios

La factorización de monomios es muy similar a la factorización de números. Básicamente consiste en obtener por simple inspección los factores primos del coeficiente y posteriormente obtener los factores de las literales, los cuales quedan indicados por el exponente de cada literal.

Ejemplo:

Factorizar el monomio [math]21a^2c^3\,[/math]:

[math]21a^2c^3=7\cdot 3\cdot a\cdot a\cdot c\cdot c\cdot c[/math]

Ejemplo:

Factorizar el monomio [math]-21a^2c^3\,[/math]:

[math]21a^2c^3=-1\cdot 7\cdot 3\cdot a\cdot a\cdot c\cdot c\cdot c[/math]

Factorizar binomios

Los binomios son expresiones algebraicas que contienen dos términos. La factorización de binomios es un proceso muy importante en álgebra.

Ejemplo:

• [math]a+b\,[/math]. Éste es el binomio más simple.
• [math]6x^2-4x\,[/math].
• [math]m^3+n^3\,[/math].

Casos de factorización de binomios

a) Cuando el factor común es un monomio

1. Factorizar [math]9a^3b^2+18ab^3[/math]:

Factorizar polinomios

No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distindos de la unidad, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles entre ellos mismos y por la "unidad", hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas mismas y por la "unidad", y que, por tanto, no son el productos de otras expresiones algebraicas. Así a+b no puede descomponers en dos factores distinos de 1 porque sólo es divisible por a+b y por 1.

Prueba general de factorización

Para cualquiera de los casos que hemos estudiado, la prueba consiste en multiplicar los factores obtenidos, su producto tiene que ser igual a la expresión que se ha factorizado. Si realizas esta prueba te habrás asegurado que la factorización es correcta.
Ejemplo:

Al factorizar la expresión [math]21a^2c^3+7a^3c\,[/math] se obtiene:

[math]21a^2c^3+7a^3c=(7a^2c)(3c^2+a)\,[/math]

La prueba consiste en multiplicar los factores obtenidos. El resultado deberá ser la expresión original:

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[math](7a^2c)(3c^2+a)=21a^2c^3+7a^3c\,[/math]