User:Arathron/Topologia

1. Sea [math]S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1 \} \cup \{(-2,-2)\}[/math]. Entonces el punto [math](-2,-2)[/math] es

	Punto interior
→	Incorrecto. Cuidado que el punto pertenezca al conjunto no asegura que sea interior a él.
	Punto exterior
→	Incorrecto, la intersección de S con ningún entorno centrado en el (-2,-2) es vacío, pues su centro está en S.
	Punto frontera
→	Correcto. Los puntos aislados siempre son frontera.

2. Sea [math]S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : -1 \leq x \leq 1, -2 \lt y \lt 2\}[/math]. Entonces [math]S[/math] es

	Abierto
→	Incorrecto, fijate que contiene puntos frontera
	Cerrado
→	Incorrecto, fijate que no contiene a todos los puntos frontera
	Acotado
→	Correcto
	Compacto
→	Incorrecto, debería ser cerrado y acotado
	Conexo
	Convexo
	Simplemente Conexo

3. Sea [math]S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \lt 0\} \cup \{ (2,-1) \}[/math]. Entonces [math]S[/math] es

	Abierto
→	Incorrecto, pues contiene un punto aislado que es frontera
	Cerrado
→	Incorrecto, el eje y es frontera y no lo contiene.
	Acotado
→	Incorrecto
	Compacto
→	Incorrecto, debería ser cerrado y acotado
	Conexo
→	Incorrecto, no hay una curva contenida en el conjunto que una el (2,-1) con otro punto del conjunto.
	Convexo
	Simplemente Conexo

4. Los conjuntos de nivel de la función [math]f(x,y) = (x-1)^2 + 2y^2[/math] son...

	Esferas
→	Incorrecto, debe ser un subconjunto de [math]\mathbb{R}^2[/math]
	Elipses
→	Correcto
	Circunferencias
→	Incorrecto, ver que los semiradios no son iguales
	Rectas
→	Incorrecto
	Sólo un punto
→	Incorrecto, no se pregunta sólo el conjunto de nivel 0, sinó en general.

5. La imagen de la función [math]g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 : g(t) = (\cos(t), \sin(t), t)[/math] es

	Una circunferencia
→	Incorrecto, ojo que debe ser un subconjunto de [math]\mathbb{R}^3[/math]
	Una esfera
→	Incorrecto, debe ser una curva
	Una hipérbola
→	Incorrecto
	Una hélice
→	Correcto
	Sólo un punto
→	Incorrecto.

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