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= Energieerhaltungssätze =

In der Physik sind wir stolz auf die so genannten Erhaltungssätze, die ein sehr mächtiges Instrument zur Vorausberechnung von komplizierten Bewegungen sind. Der Clou dabei ist, dass wir von gewissen Details beim Bewegungsverlauf absehen können, und uns nur mit dem Zustand beschäftigen müssen, die ein Objekt am Anfang und Ende der Bewegung hat, also insbesondere seinem Ort und seiner Geschwindigkeit.

Da mechanische Energie in der Physik nichts anderes als gespeicherte mechanische Arbeit ist, müssen wir zunächst verschiedene Arten mechanischer Arbeit studieren.

Nehmen wir das Beispiel eines Wagens, der aus dem Stand beschleunigt, eine Zeit lang näherungsweise reibungsfrei mit konstanter Geschwindigkeit fährt und schließlich wieder abbremst. Die Kraft zur Beschleunigung kommt vom Motor des Wagens, wir sagen er verrichtet Beschleunigungsarbeit. Wir definieren sie als das Produkt aus der beschleunigenden Kraft und dem Weg, auf dem die Beschleunigung stattfindet.

$$W_a = F x$$

Die Anfangsgeschwindigkeit ist null; die Endgeschwindigkeit nennen wir einfach v. Dann gilt die Beziehung

$$v^2 = 2 a x$$

gültig für konstante Beschleunigung aus der Ruhe.

Bedenken wir, dass die Beschleunigung a aus der Einwirkung der Kraft F nach der Formel

F = m a

erfolgt, so folgt

Wa = m a x = ½ m v2.

Die Beschleunigungsarbeit ist also nur von der Masse des Wagens abhängig und von der erreichten Geschwindigkeit v.

Verständnisfrage: Weshalb sind Kleinwagen im Stadtverkehr energiesparender als große, schwere Autos?

Bremst der Wagen wieder ab, wird diese Arbeit wieder frei, und zwar in Form von „Bremsarbeit“. Wir merken das daran, dass an den Bremsen Reibungsarbeit verrichtet wird, wenn sie den Wagen zum Stillstand bringen. Sie erwärmen sich oder laufen schlimmstenfalls heiß.

Die Bremsarbeit berechnen wir als Reibungsarbeit nach der Formel

Wbrems = Fbrems x ,

wobei Fbrems die Bremskraft und x der Bremsweg ist.

Analog dazu können wir uns das Beispiel eines Hundeschlittens am Nordpol vor Augen führen. Zweifellos müssen die Hunde zum Ziehen Arbeit verrichten, und zwar je mehr, umso schwerer der Schlitten ist und umso weiter der Weg. Das Gewicht des Schlittens bestimmt nämlich die Reibungskraft FR. Es gilt

WR = FR x

für die Reibungsarbeit, wobei x der zurückgelegte Weg ist.

Woher kommt nun aber die Bremsarbeit beim Auto? Da sind sicher keine fleißigen Hunde im Spiel!

Antwort: Sie kommt aus der Bewegung, ist sozusagen in dem sich bewegenden Wagen gespeichert. Das Auto ist also aufgrund seiner Masse und seiner Geschwindigkeit in der Lage, mechanische Arbeit zu verrichten.

Wir sagen, er hat die Beschleunigungsarbeit gespeichert in Form von Bewegungsenergie, so genannter kinetischer Energie. Diese wird beim Bremsen frei in Form von Reibungsarbeit, und die Bewegung kommt dabei zum Erliegen.

Die kinetische Energie des Wagens lässt sich also mit der gleichen Formel berechnen:

Ekin = ½ m v2

Übungsaufgabe: Zeigen Sie durch Rechnung oder genaue Argumentation:

Verdoppelt der Fahrer die Geschwindigkeit seines Gefährts, so vervierfacht sich der Bremsweg.

Aufgabe 4.1: Brummi, Teil 2
Nun soll der Brummi aus Aufgabe 3.20 (Masse 35 t) auf horizontaler Straße aus dem Stand anfahren.
 * c) Berechnen Sie die erforderliche Beschleunigungsarbeit, um ihn in 40 s auf die Geschwindigkeit 50 km/h zu bringen!
 * d) Welche mittlere Leistung muss der Motor dazu aufbringen?

Lösung

Aufgabe 4.2: Schwerstarbeit
Welche Arbeit verrichtet der Motor einer Diesellokomotive der Masse 90 t, die 10 Wagen mit je einer Masse von 22 t auf einer ebenen, 4,0 km langen Strecke aus dem Stand beschleunigt? Die Endgeschwindigkeit beträgt dann 70 km/h und es wirkt dabei eine mittlere Fahrwiderstandskraft von 30 kN.

Lösung

Spannenergie
Durch die Verformung von elastischen Materialien lässt sich Energie speichern: Es wird so genannte Spannarbeit aufgebracht um die Verformung zu bewirken, und bei der Entspannung wird sie wieder frei. Betrachten wir das Beispiel einer elastischen Schraubenfeder:

Um sie aus dem entspannten Zustand um eine Strecke s zu dehnen, ist die Zugkraft F erforderlich. Allerdings nicht für die gesamte Dehnungsstrecke, da sich die Feder zunächst leichter dehnen lässt, dann schwerer. Genau genommen wächst die Dehnkraft F mit der bereits erfolgten Dehnung proportional an, d. h. Es gilt

$$F = D s$$

mit der Federkonstanten (Federhärte) D.

Diese Beziehung heißt auch Hookesches Gesetz und gilt für alle elastischen Materialien bei hinreichend kleiner Verformung.

Berechnungsbeispiel: Die Kraft F = 10 N dehnt eine Feder um 10 cm aus dem entspannten Zustand. Dann gilt D = F/s = 10N / 0,10 m  = 100 N/m.

Um die Feder um einen Meter zu dehnen ist also die Kraft 100 N erforderlich. Die Länge der Feder spielt dabei übrigens keine Rolle.

Nun fragen wir nach der Arbeit, die aufgebracht werden muss, um die Feder um die Strecke s aus der Entspannung zu dehnen. Da die Arbeit als

$$W = F s$$

definiert ist, vermuten wir zunächst, dass wir lediglich die Dehnung s mit der Dehnkraft F multiplizieren müssen. Dies ist jedoch offensichtlich falsch, da die Dehnkraft erst am Schluss ihren maximalen Wert erreicht und somit die berechnete Arbeit zu groß wäre.

Wir führen uns zunächst das Hookesche Gesetz grafisch vor Augen: Eine Ursprungsgerade.

Im Analogschluss zur Ermittlung des Weges aus der Fläche unter dem t-v-Diagramm (denn Zeit mal Geschwindigkeit gibt Weg) bekommen wir hier die gesuchte Arbeit als Fläche unter dem s-F-Grafen. Diese lässt sich als Dreiecksfläche berechnen:

Spannarbeit W Sp = ½ Grundlinie mal Höhe = ½ s D s = ½ D s2.

Die Spannarbeit ist quadratisch abhängig von der Dehnungsstrecke s, d. h. doppelte Dehnung erfordert vierfache Spannarbeit. Diese liegt nun gespeichert als Spannenenergie

ESp = ½ D s 2

vor.

Aufgabe 4.3: Spann die Feder!
Eine zunächst entspannte Stahlfeder wird durch eine Kraft von 50 N um 80 cm gedehnt.
 * a) Welche Spannarbeit ist dazu erforderlich?
 * b) Welche zusätzliche Spannarbeit muss an der Feder verrichtet werden um sie weitere 50 cm auszudehnen?
 * c) Welche Spannenergie steckt nun in der Feder?

Lösung

Aufgabe 4.4: Erbsenpistole
Eine Stahlfeder mit der Federkonstanten 6,0 102 N/m  wird um 2,0 cm zusammengedrückt. Bei der Entspannung beschleunigt sie eine Erbse der Masse 0,40 g. Welche Geschwindigkeit hat die Kugel beim Verlassen der Feder?

Lösung

Aufgabe 4.5: Sackheben
Ein Sack Weizen der Masse 50 kg soll in einen Kornspeicher auf die Höhe von 4,30 m gehoben werden, einmal senkrecht nach oben mit einer Seilwinde, einmal über eine Rampe der Länge 7,00 m. Die Reibung soll jeweils vernachlässigt werden.
 * a) Zeigen Sie, dass in beiden Fällen die gleiche mechanische Arbeit notwendig ist und berechnen Sie diese!
 * b) Welche Arbeit ist erforderlich, wenn zum Heben ein einfacher Flaschenzug verwendet wird?
 * c) Welche potenzielle Energie hat der Weizensack oben auf dem Speicher?

Lösung

Aufgabe 4.6: Energievergleich
Berechnen Sie die Energie
 * a) eines Kleinbusses von 2,0 t Masse bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h
 * b) von 1,0 m3 Wasser in einer Höhe von 200 m (Walchenseekraftwerk)
 * c) von 4000 m3 Wasser im Rhein, wenn die Fließgeschwindigkeit 1,0 m/s beträgt!

Welche Art von Energie liegt jeweils vor?

Lösung

Aufgabe 4.7: Hell Racer


Ein Spielzeugauto der Masse 70 g fährt auf einer horizontalen Bahn mit der konstanten Geschwindigkeit 5,0 m/s. Anschließend durchfährt es einen senkrechten  Halbkreis mit Radius 50 cm. Die Reibung darf vernachlässigt werden.
 * a) Mit welcher kinetischen Energie und mit welcher Geschwindigkeit verlässt das Auto den Halbkreis?
 * b) Mit welcher Geschwindigkeit erreicht es wieder die horizontale Bahn?
 * c) Das selbe Auto wird mit 5,0 m/s senkrecht nach oben geworfen. Welche Geschwindigkeit besitzt es in 1,0 m Höhe?

Lösung

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