2.- Razonamiento matemático

Habilidad o razonamiento matemático.

Sucesiones numéricas: Se denomina a la serie de números en un conjunto, donde la diferiencia entre ellos es constante. Para su comprensión y respuesta se puede hacer de forma lineal o por pares ordenados:

a1 + a2 + a1 + a2 + a1 + a2.....Se ve claramente que esta ordenados por pares, el primer termino con el tercero; el segundo con el cuarto y asi sucesivamente.

a1 + a2 + a3 + a4 + a5.....Se observe que el incremento es de forma lineal.

Ejemplos:

a) 3,6,9,12....

aumento constante desde 3, sumando de 3 en 3 en los siguientes valores.

b) 2,8,32,128....

Aumento constante desde 2, multiplicando por 4 a los siguientes valores.

c) 1,4,9,12,17,20....

Par ordenado con diferencia de 3, desde (1,4)y aumento constante de 8 en 8 en los suiguientes valores del par.

d) 20,12,17,14....

Par ordenado con disminución constante de 8, desde (20,12) y disminución constante de 3 en 3 en el primer valor y aumento de 2 en el segundo valor del par.

Una sucesión es una lista de números que siguen una regla.

a1, a2, a3,... ai,... an,...

Por ejemplo 1, 3, 5, 7, 9, ...

El término general de esta sucesión es 2n - 1.

Cuando nos dan el término general es muy sencillo obtener un término determinado, pero lo contrario, dados unos pocos términos, obtener el término general, puede ser bastante difícil.

Una serie es la suma de los términos de una sucesión:

a1 + a2 + a3 + ... + ai + ... + an + ...

Las sucesiones más famosas son las progresiones aritméticas, las progresiones geométricas y la sucesion de Fibonacci.

Las sucesiones pueden ser infinitas (cuando tienen un número infinito de términos) o finitas.

Algunas sucesiones se aproximan cada vez más a un cierto número, estas sucesiones se llaman convergentes.

Se dice que un número L es el límite de una sucesión, de término general an, si la diferencia en valor absoluto entre an y L es menor que un número cualquiera, e, previamente elegido. Expresado matemáticamente ½ an - L½ < e.

Las sucesiones que no tienen este límite se llaman divergentes.

Una sucesión es estrictamente creciente si cada término de la sucesión es mayor que el anterior

Una sucesión es creciente si cada término es igual o mayor al anterior

Similares definiciones se utilizan para sucesiones estrictamente decrecientes y decrecientes.

Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente.

Una sucesión es estrictamente monótona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Una sucesión se dice acotada superiormente por un número A, si A >= an.

Una sucesión se dice acotada inferiormente A, si A <= an.

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente

Progresión aritmética

Es una sucesión de números en la que cada término, excepto el primero, se obtiene sumando al anterior otro número fijo. Este número fijo se llama diferencia. Son sucesiones de conjuntos númericos, en donde la diferiencia entre cada uno de ellos es constante.

Ejemplos:

Aqui van los ejemplos...............................................................................................................

Es fácil demostrar que el término general es:

an = a1 + d(n-1)

y la suma de n términos es:

S = (a1 + an). n / 2

Mi padre me ha contado esta historia: En un pequeño pueblo de Alemania (Brunswick), un profesor castigaba a sus alumnos haciéndoles sumar números consecutivos (por ejemplo sumar los 100 primeros números naturales). Era un duro castigo, pues había que hacer muchas sumas (1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15,...) y era fácil equivocarse. Pero... una vez, uno de los niños le dio la solución en un tiempo sorprendente, el profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100= 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.

Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüs. Fue uno de los mas grandes matemáticos

Progresión geométrica

Es una sucesión de números en la que cada término, excepto el primero, se obtiene multiplicando el anterior por otro número fijo. Este número fijo se llama razón.

Es fácil demostrar que el término general de una progresión geométrica es:

an = arn-1

y que la suma de n términos es:

S = (an.r - a1) / (r - 1)

Las progresiones geométricas tienen una propiedad interesante: el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos.