Matematicas GECeneval286/Contenido/Algebra/Polinomios/Factorizacion

=Objetivos=

=Factores y Factorización=

Factores en aritmética
En aritmética aprendimos que si multiplicamos 9 por 8 el resultado es 72, por tanto, 72 es igual a 9 por 8. Los números 9 y 8 son factores de 72 porque al multiplicarlos obtenemos el mismo número (72). Esto se expresa aritméticamente así: $$9 \cdot 8 = 72 \qquad \rightarrow \qquad 72 = 9 \cdot 8 \qquad 9\text{ y }8 \text{ son factores de 72}$$ Ahora bien, 9 y 8 pueden a su vez descomponerse así:

\begin{align} 9 & = 3 \cdot 3 \\ 8 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ \end{align} $$

Por tanto:

\begin{align} 72 & = 9 \cdot 8 \\ & = (3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \end{align} $$

Al descomponer el número 72 obtenemos el número 3 multiplicado dos veces y el número 2 multiplicado tres veces. Los números 3 y 2 son primos. Se dice entonces que 3 y 2 son factores primos de 72, es decir:

$$3^2 \cdot 2^3 = 72 \qquad\ \rightarrow\ \qquad 72=3^2 \cdot 2^3 \qquad \text{3 y 2 son factores primos de 72}$$

Observa la diferencia existente entre los conceptos "factores" y "factores primos"

Factores en álgebra
Si multiplicamos la expresión a^2 por la expresión a+b el resultado es la expresión a^3+a^2b. Por tanto a^3+a^2b es el resultado de multiplicar a^2 por a+b. Las expresiones a^2 y a+b son factores de a^3+a^2b porque al multiplicarlos obtenemos la misma expresión (a^3+a^2b). Esto se expresa algebraicamente así: $$a^3+a^2b=a^2 \cdot (a+b)\qquad \rightarrow \qquad a^2 \text{ y }(a+b) \text{ son factores de }a^3+a^2b \,$$

De igual modo si:

$$x^2-2x-3=(x+1)(x-3) \qquad \rightarrow \qquad (x+1) \text { y  } (x-3) \text {  son factores de  } x^2-2x-3\,$$

Observa que en álgebra el símbolo de multiplicación $$\text{( } \cdot \text{ )}$$ puede ser omitido.

Definiciones
Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión. Factorizar una expresión algebraica es:
 * convertirla en el producto indicado de sus factores
 * el proceso reverso de una multiplicación
 * descomponerla en el producto de otras expresiones algebraicas más simples (factores), tal que al multiplicarlas todas resulta la expresión original.

Factorizar monomios
La factorización de monomios es muy similar a la factorización de números. Básicamente consiste en obtener por simple inspección los factores primos del coeficiente y posteriormente obtener los factores de las literales, los cuales quedan indicados por el exponente de cada literal.

Ejemplo:

Factorizar el monomio 21a^2c^3\,:

$$21a^2c^3=7\cdot 3\cdot a\cdot a\cdot c\cdot c\cdot c$$ Ejemplo:

Factorizar el monomio -21a^2c^3\,:

$$21a^2c^3=-1\cdot 7\cdot 3\cdot a\cdot a\cdot c\cdot c\cdot c$$

Factorizar binomios
Los binomios son expresiones algebraicas que contienen dos términos. La factorización de binomios es un proceso muy importante en álgebra.

Ejemplo:


 * $$a+b\,$$. Éste es el binomio más simple.
 * $$6x^2-4x\,$$.
 * $$m^3+n^3\,$$.

a) Cuando el factor común es un monomio
1. Factorizar $$9a^3b^2+18ab^3$$ :

Factorizar polinomios
No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distindos de la unidad, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles entre ellos mismos y por la "unidad", hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas mismas y por la "unidad", y que, por tanto, no son el productos de otras expresiones algebraicas. Así a+b no puede descomponers en dos factores distinos de 1 porque sólo es divisible por a+b y por 1.

Prueba general de factorización
Para cualquiera de los casos que hemos estudiado, la prueba consiste en multiplicar los factores obtenidos, su producto tiene que ser igual a la expresión que se ha factorizado. Si realizas esta prueba te habrás asegurado que la factorización es correcta. Ejemplo:

Al factorizar la expresión $$21a^2c^3+7a^3c\,$$ se obtiene: $$21a^2c^3+7a^3c=(7a^2c)(3c^2+a)\,$$

La prueba consiste en multiplicar los factores obtenidos. El resultado deberá ser la expresión original: Ver video $$(7a^2c)(3c^2+a)=21a^2c^3+7a^3c\,$$

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