Ángulos

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Image:Guia.png GEOMETRÍA EUCLIDIANA 

Ángulos | Paralelas cortadas por una secante | Áreas y Perímetros | Volumen de Cuerpos Geométricos | Teorema de Pitágoras | Trigonometría


En este módulo aprenderás los nombres de los diversos tipos de ángulos. También conocerás los dos sistemas de medición de los ángulos y la relación entre las unidades de medición


ANGULOS

Contents

Objetivos



Objetivos

Al terminar de estudiar este módulo serás capaz de:
  • Explicar qué es un ángulo.
  • Identificar los diversos tipos de ángulos.
  • Calcular los valores de ángulos complementarios y ángulos suplementarios.
  • Identificar las medidas más importantes de los ángulos en grados y en radianes.
  • Convertir grados a radianes y viceversa.


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Conceptos clave del módulo

Definición de Ángulo

Ángulo es la abertura entre dos líneas rectas que se encuentran en el mismo plano y se intersectan (rectas secantes), el punto de intersección de éstas recibe el nombre de vértice. Los sistemas de medición más comunes para obtener la magnitud de un ángulo son: el sistema sexagesimal (grados), y el sistema cíclico (radianes).

Image:Angulo.png \text {Donde:} \,\!

\overline{A A'} \text { ,  } \overline{B B'} \text { : Lineas rectas que se cruzan en el plano.}

O \text { : Vertice}\,\!

\angle \alpha \text { : Angulo } \alpha

\overrightarrow{O A'} \text { , }\overrightarrow{O B'} \text {: Lados del angulo}

Tipos de Ángulos según su medida


Ángulo Agudo Ángulo Recto Ángulo Obtuso
Es aquél cuya magnitud es menor que 90º Es aquél cuya magnitud es igual a 90º Es aquél cuya magnitud es mayor que 90º
Image:Anguloagudo.png Image:Angulo_recto.png Image:Anguloobtuso.png


Ángulo Nulo Ángulo Llano Ángulo Cóncavo Ángulo Perigonal
Es aquél cuya magnitud es igual a 0º Es aquél cuya magnitud es igual a 180º Es aquél cuya magnitud es mayor que 180º pero menor que 360º Es aquél cuya magnitud es igual a 360º
Image:Angulocero.png Image:Angulollano.png Image:Anguloentrante.png Image:Anguloperigonal.png


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Tipos de Ángulos según su posición relativa


Ángulos Consecutivos Ángulos Adyacentes Ángulos Opuestos por el Vértice
Son aquellos que tienen un lado en común y además comparten el mismo vértice. Son aquéllos que tienen un lado en común y los otros lados son colineales. Al cruzar dos rectas en el plano se forman cuatro ángulos.
De ellos, son ángulos opuestos por el vértice aquellos que poseen sólo el vértice en común.
Image:Angulosconsecutivos.png Image:Angulosadyacentes.png Image:Angulosopuestos.png
\angle AOB y \angle BOC
son Consecutivos.
\angle COB y \angle BOA
son Adyacentes.
\angle COB y \angle AOD
son Opuestos por el vértice.
\angle BOA y \angle DOC
son Opuestos por el vértice.


Propiedades de los ángulos Adyacentes.

Se cumple que:

\angle COB + \angle BOA = 180^\circ\,\!


Propiedades de los ángulos Opuestos por el Vértice.

Se cumple que:

\angle COB = \angle AOD

\angle BOA = \angle DOC


Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante.

Cuando una línea recta transversal o secante intersecta dos rectas paralelas, se forma un conjunto de ocho ángulos cuya posición relativa ha sido profusamente estudiada. Matemáticamente se expresa así:

Dadas las rectas \overline{AB} \parallel \overline{CB} y \overline{EF} , se forman los siguientes ángulos:



Ángulos formados por dos rectas y una secante
Image:Rectas Secante.png



Considerados de dos en dos, estos ángulos reciben los nombres siguientes:

Nombre Descripción Propiedades
Alternos Internos Son dos ángulos internos no adyacentes, situados en distinto lado de la secante \angle 3 = \angle 5

\angle 4 = \angle 6

Alternos Externos Son dos ángulos externos no adyacentes, situados en distinto lado de la secante \angle 1 = \angle 7

\angle 2 = \angle 8

Opuestos por el vértice Son aquéllos que tienen el vértice en común y los lados de uno de sus ángulos. \angle 1 = \angle 3

\angle 2 = \angle 4

\angle 5 = \angle 7

\angle 6 = \angle 8

Correspondientes Son dos ángulos no adyacentes, situados en un mismo lado de la secante, uno interno y otro externo \angle 1 = \angle 5

\angle 2 = \angle 6

\angle 4 = \angle 8

\angle 3 = \angle 7

Colaterales Internos (Suplementarios) Son dos ángulos internos no adyacentes, situados en un mismo lado de la secante \angle 4 + \angle 5=180^\circ

\angle 3 + \angle 6=180^\circ

Colaterales Externos (Suplementarios) Son dos ángulos externos no adyacentes, situados en un mismo lado de la secante \angle 1 + \angle 8=180^\circ

\angle 2 + \angle 7=180^\circ

Adyacentes (Suplementarios) Son aquéllos que tienen un lado en común. \angle 1 + \angle 2=180^\circ \qquad \angle 5 + \angle 6=180^\circ

\angle 2 + \angle 3=180^\circ \qquad \angle 6 + \angle 7=180^\circ

\angle 3 + \angle 4=180^\circ \qquad \angle 7 + \angle 8=180^\circ

\angle 4 + \angle 1=180^\circ \qquad \angle 8 + \angle 5=180^\circ





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Tipos de Ángulos según la suma de sus medidas


Ángulos Complementarios Ángulos Suplementarios
Son aquellos cuya suma es igual a 90º Son aquellos cuya suma es igual a 180º
Image:Anguloscomplementarios.pngImage:Anguloscomplementarios1.png Image:Angulossuplementarios.pngImage:Angulossuplementarios1.png
image:icon_present.gif
Tip: Los ángulos complementarios y suplementarios pueden estar geométricamente separados, sin compartir lados y/o vértices.



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Tipos de Ángulos según su orientación

Los ángulos pueden considerarse "sin orientación", sin embargo cuando sea necesario considerar el sentido de un giro se dotará de signo al ángulo correspondiente.

Ángulos Positivos Ángulos Negativos
Son aquéllos que abren en sentido opuesto a las manecillas del reloj. Son aquéllos que abren conforme el sentido de las manecillas del reloj.
Image:Angulopositivo.png Image:Angulonegativo.png


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Conversión de medidas de ángulos

Un grado sexagesimal es la medida del ángulo central de un círculo, de amplitud igual a la 360 ava parte del mismo.

Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco de igual longitud al radio del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián y equivale a 57.296º.

Image:Radian.png \text {1 radian = }\frac{180^\circ}{\pi} = 57.296^\circ

El uso de radianes en vez de grados ayuda a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

1) Para convertir de grados a radianes, se multiplica por \pi\,\! y se divide entre 180º; y se simplifica. Es decir:

\text {rad =}\text{ grados }\cdot\frac{\pi}{180^\circ}

2) Para convertir de radianes a grados, se multiplica por 180º y se divide entre \pi\,\!; y se simplifica. Es decir:

\text {grados =}\text{ rad }\cdot\frac{180^\circ}{\pi}
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Equivalencias entre grados sexagesimales y radianes


Grados Radianes
Image:Grados_.png Image:Radianes.png
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Esquema-resumen


Image:ÁNGULOS.svg

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Ejercicios Resueltos

Ir a: Ejercicios Resueltos - Angulos

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Recursos en línea




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Autoevaluación

WikiQuiz 1



ÁNGULOS

 

1. ¿Cuál es el complemento de 65º

(a) 180º
Incorrecto.
(b) 25º
Image:Correct.png Un ángulo y su complemento suman 90º, entonces, 65^\circ+25^\circ=90^\circ
(c) 15º
Incorrecto.
(d) 90º
Incorrecto.
(e) 75º
Incorrecto.

2. De acuerdo con la figura de la derecha, ¿Cuál es el valor de x?
(a) 15º
Image:Correct.png Los ángulos son complementarios, entonces, 15^\circ+55^\circ+20^\circ=90^\circ
(b) 35º
Incorrecto
(c) 180º
Incorrecto.
(d) 360º
Incorrecto.
(e) 90º
Incorrecto.

3. ¿Cuál es el ángulo cuyo suplemento es el doble de dicho ángulo?

(a) 120º
Incorrecto.
(b) 60º
Image:Correct.png El ángulo que buscas más su doble deben sumar 180º, es decir, 60^\circ+2*(60^\circ)=180^\circ
(c) 90º
Incorrecto.
(d) 30º
Incorrecto.
(e) 180º
Incorrecto.

4. De acuerdo con la figura de la derecha, ¿Cuál es el valor de x?
(a) 75º
Incorrecto.
(b) 180º
Incorrecto.
(c) 90º
Incorrecto.
(d) 225º
Incorrecto.
(e) 105º
Image:Correct.png Los ángulos son suplementarios, entonces, 40^\circ+x+35^\circ=180^\circ entonces x=105^\circ

5. De acuerdo con la figura de la derecha, ¿Cuál es el valor de x?
(a) 30º
Incorrecto.
(b) 45º
Image:Correct.png La suma de los ángulos forma un ángulo llano, entonces, 20^\circ+(2x+10^\circ)+60^\circ=180^\circ entonces x=45^\circ
(c) 20º
Incorrecto.
(d) 100º
Incorrecto.
(e) 180º
Incorrecto.

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WikiQuiz 2



ÁNGULOS

 

1. ¿Cuántos radianes caben en un ángulo perigonal?

(a) 3.1416 radianes
Incorrecto.
(b) 6.0 radianes
Incorrecto.
(c) 1.571 radianes
Incorrecto.
(d) 12.566 radianes
Incorrecto.
(e) 6.283 radianes
Image:Correct.png \cfrac{360^\circ}{\left (\cfrac{180^\circ}{\pi}\right )} = \frac {360^\circ\pi} {180^\circ} = 2\pi = 6.283\text { radianes}\,\!

2. Un ángulo perigonal menos un ángulo recto mas un ángulo nulo equivale a:

(a) 0º
Incorrecto.
(b) 180º
Incorrecto.
(c) 90º
Incorrecto.
(d) 270º
Image:Correct.png 360^\circ - 90^\circ + 0^\circ = 270^\circ
(e) 360º
Incorrecto.

3. 90º sexagesimales equivalen a:

(a) \pi\,\! radianes
Incorrecto.
(b) \frac {\pi} {2} radianes
Image:Correct.png
(c) 2\pi\,\! radianes
Incorrecto.
(d) \frac {3\pi} {2} radianes
Incorrecto.
(e) \frac {2} {\pi} radianes
Incorrecto.

4. La suma de dos ángulos rectos equivale a:

(a) 90 radianes
Incorrecto.
(b) 57.293 radianes
Incorrecto.
(c) 6.283 radianes
Incorrecto.
(d) 180 radianes
Incorrecto.
(e) 3.1416 radianes
Image:Correct.png 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ = \pi radianes  = 3.1416\,\! radianes

5. A cuántos grados sexagesimales equivalen \frac {\pi} {3} radianes?

(a) 60º
Image:Correct.png \left(\frac {\pi} {3}\right )\cdot \left(\frac {180^\circ} {\pi}\right ) = \frac {180^\circ} {3} = 60^\circ\,\!
(b) 45º
Incorrecto.
(c) 20º
Incorrecto.
(d) 100º
Incorrecto.
(e) 180º
Incorrecto.

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WikiQuiz 3



¿VERDADERO O FALSO?

 

1. Todos los ángulos adyacentes son suplementarios

(a) Verdadero
Incorrecto.
(b) Falso
Image:Correct.png Los ángulos suplementarios son un caso particular de ángulos adyacentes, sin embargo existen ángulos adyacentes que no son suplementarios (Pueden estar geométricamente separados).

2. Al sumar dos ángulos rectos obtengo un ángulo llano

(a) Verdadero
Image:Correct.png90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
(b) Falso
Incorrecto.

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