Álgebra - Polinomios - Factorización

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Image:Guia.png ÁLGEBRA 

Introducción al Álgebra | Polinomios | Ecuaciones de Primer Grado | Ecuaciones de Segundo Grado | Relaciones y Funciones


Objetivos



Objetivos

Al terminar de estudiar este tema, el alumno:

  • Conocerá las reglas básicas de factorización.
  • Identificará los principales casos de factorización y será capaz de factorizar y será capaz de aplicarlas para factorizar monomios, binomios, trinomios y polinomios.
  • Será capaz de hacer pruebas de factorización



Factores y Factorización

Factores en aritmética

En aritmética aprendimos que si multiplicamos por el resultado es , por tanto, es igual a por . Los números y son factores de porque al multiplicarlos obtenemos el mismo número (). Esto se expresa aritméticamente así:


Ahora bien, y pueden a su vez descomponerse así:


Por tanto:


Al descomponer el número obtenemos el número multiplicado dos veces y el número multiplicado tres veces. Los números y son primos. Se dice entonces que y son factores primos de , es decir:


Observa la diferencia existente entre los conceptos "factores" y "factores primos"

Factores en álgebra

Si multiplicamos la expresión por la expresión el resultado es la expresión .

Por tanto es el resultado de multiplicar por .

Las expresiones y son factores de porque al multiplicarlos obtenemos la misma expresión (). Esto se expresa algebraicamente así:


De igual modo si:



Observa que en álgebra el símbolo de multiplicación puede ser omitido.


Definiciones

Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión.


Factorizar una expresión algebraica es:

  • convertirla en el producto indicado de sus factores
  • el proceso reverso de una multiplicación
  • descomponerla en el producto de otras expresiones algebraicas más simples (factores), tal que al multiplicarlas todas resulta la expresión original.


factorización
---------------------------------------->
<----------------------------------------
multiplicación


Casos de Factorización

Factorizar monomios

La factorización de monomios es muy similar a la factorización de números. Básicamente consiste en obtener por simple inspección los factores primos del coeficiente y posteriormente obtener los factores de las literales, los cuales quedan indicados por el exponente de cada literal.

Ejemplo 1:

Factorizar el monomio :

21a^2c^3=7\cdot 3\cdot a\cdot a\cdot c\cdot c\cdot c



Ejemplo 2:

Factorizar el monomio :



Factorizar binomios

Los binomios son expresiones algebraicas que contienen dos términos. La factorización de binomios es un proceso muy importante en álgebra.

Ejemplos de binomios

a) Diferencia de cuadrados perfectos

En el tema "Productos Notables" se estudió que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual a una diferencia de cuadrados perfectos, por ejemplo:


El proceso reverso de esta operación corresponde a la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos.

Ejemplo 1:

Factorizar

Analizamos: El binomio es una diferencia y ambos términos tienen raíz cuadrada. Calculamos las raíces:





El resultado de la factorización es:

Ver video


Binomios conjugados



Ejemplo 2:

Factorizar .

Analizamos: El binomio es una diferencia y ambos términos (compuestos) tienen raíz cuadrada. Calculamos las raíces:





El resultado de la factorización es:

Ver video


Binomios conjugados



b) Suma o diferencia de cubos perfectos

Las reglas de factorización para la suma de cubos y la diferencia de cubos son:


Ejemplo 1:

Factorizar

Aplicando la Regla 1 (suma de cubos perfectos):

Obtenemos la raíz cúbica de :

Obtenemos la raíz cúbica de :

Obtenemos el cuadrado de :

Obtenemos el cuadrado de :

El resultado de la factorización es:

Ver video

Ejemplo 2:

Factorizar

Aplicando la Regla 2 (diferencia de cubos perfectos):

Obtenemos la raíz cúbica de :

Obtenemos la raíz cúbica de :

Obtenemos el cuadrado de :

Obtenemos el cuadrado de :

El resultado de la factorización es:

Ver video


Factorizar trinomios

Los trinomios son expresiones algebraicas que contienen tres términos. La factorización de trinomios es, al igual que en los binomios, un proceso muy importante en álgebra.

Ejemplos de trinomios

a)Trinomio cuadrado perfecto







Reglas para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

Sea el trinomio ,


Así, es un trinomio cuadrado perfecto porque:

............... el primer término es un cuadrado perfecto y positivo.

............... el tercer término es un cuadrado perfecto y positivo.

....................... es el doble producto de las raíces cuadradas de el primer y tercer término (puede ser positivo o negativo



Ejemplo 1.

Factorizar

1.

2.

3.Se verifica

Cuando el doble producto de las raíces cuadradas es negativo, su solución (binomio al cuadrado) es una diferencia:

El resultado de la factorización es:

Ver video



Factorizar polinomios

No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distindos de la unidad, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles entre ellos mismos y por la "unidad", hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas mismas y por la "unidad", y que, por tanto, no son el productos de otras expresiones algebraicas. Así no puede descomponers en dos factores distinos de porque sólo es divisible por y por .

a) Monomio como factor común

Factorizar la expresión

Analizamos el binomio. Obtenemos el factor común:

El único factor común elevado al mínimo exponente es:

y

El factor común es , por lo que éste es nuestro primer factor, el segundo factor se calcula dividiendo el binomio entre el factor común:


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El resultado de la factorización es:

b) Polinomio como factor común

Factorizar la expresión

Analizamos el binomio. Ambos términos contienen el factor común , por lo que éste es nuestro primer factor, el segundo factor se calcula dividiento el binomio entre el factor común:


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El resultado de la factorización es:

Prueba general de factorización

Para cualquiera de los casos que hemos estudiado, la prueba consiste en multiplicar los factores obtenidos, su producto tiene que ser igual a la expresión que se ha factorizado. Si realizas esta prueba te habrás asegurado que la factorización es correcta.
Ejemplo:

Al factorizar la expresión se obtiene:


La prueba consiste en multiplicar los factores obtenidos. El resultado deberá ser la expresión original:

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