Álgebra - Polinomios - Factorización
MATEMÁTICAS - GUÍA DE ESTUDIO CENEVAL
Para la acreditación del Bachillerato (Acuerdo 286 SEP MÉXICO)
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ÁLGEBRA |
Introducción al Álgebra | Polinomios | Ecuaciones de Primer Grado | Ecuaciones de Segundo Grado | Relaciones y Funciones |
Objetivos
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Al terminar de estudiar este tema, el alumno:
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Factores y Factorización
Factores en aritmética
En aritmética aprendimos que si multiplicamos [math]9\,[/math] por [math]8\,[/math] el resultado es [math]72\,[/math], por tanto, [math]72\,[/math] es igual a [math]9\,[/math] por [math]8\,[/math]. Los números [math]9\,[/math] y [math]8\,[/math] son factores de [math]72\,[/math] porque al multiplicarlos obtenemos el mismo número ([math]72\,[/math]). Esto se expresa aritméticamente así:
Ahora bien, [math]9\,[/math] y [math]8\,[/math] pueden a su vez descomponerse así:
- [math] \begin{align} 9 & = 3 \cdot 3 \\ 8 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ \end{align} [/math]
Por tanto:
- [math] \begin{align} 72 & = 9 \cdot 8 \\ & = (3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \end{align} [/math]
Al descomponer el número [math]72\,[/math] obtenemos el número [math]3\,[/math] multiplicado dos veces y el número [math]2\,[/math] multiplicado tres veces. Los números [math]3\,[/math] y [math]2\,[/math] son primos. Se dice entonces que [math]3\,[/math] y [math]2\,[/math] son factores primos de [math]72\,[/math], es decir:
Observa la diferencia existente entre los conceptos "factores" y "factores primos"
Factores en álgebra
Si multiplicamos la expresión [math]a^2\,[/math] por la expresión [math]a+b\,[/math] el resultado es la expresión [math]a^3+a^2b\,[/math].
Por tanto [math]a^3+a^2b\,[/math] es el resultado de multiplicar [math]a^2\,[/math] por [math]a+b\,[/math].
Las expresiones [math]a^2\,[/math] y [math]a+b\,[/math] son factores de [math]a^3+a^2b\,[/math] porque al multiplicarlos obtenemos la misma expresión ([math]a^3+a^2b\,[/math]). Esto se expresa algebraicamente así:
De igual modo si:
Observa que en álgebra el símbolo de multiplicación [math]\text{( } \cdot \text{ )}[/math] puede ser omitido.
Definiciones
Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión.
Factorizar una expresión algebraica es:
- convertirla en el producto indicado de sus factores
- el proceso reverso de una multiplicación
- descomponerla en el producto de otras expresiones algebraicas más simples (factores), tal que al multiplicarlas todas resulta la expresión original.
| factorización |
| ----------------------------------------> |
| [math]a^3+a^2b=a^2 \cdot (a+b)[/math] |
| <---------------------------------------- |
| multiplicación |
Casos de Factorización
Factorizar monomios
La factorización de monomios es muy similar a la factorización de números. Básicamente consiste en obtener por simple inspección los factores primos del coeficiente y posteriormente obtener los factores de las literales, los cuales quedan indicados por el exponente de cada literal.
Ejemplo 1:
Factorizar el monomio [math]21a^2c^3\,[/math]:
Ejemplo 2:
Factorizar el monomio [math]-21a^2c^3\,[/math]:
Factorizar binomios
Los binomios son expresiones algebraicas que contienen dos términos. La factorización de binomios es un proceso muy importante en álgebra.
Ejemplos de binomios
| [math]a+b\,[/math] | [math]6x^2-4xyz\,[/math] | [math]-mn^3-n^3\,[/math] | [math]1+4x^5\,[/math] | [math]-1-m^2n\,[/math] |
a) Diferencia de cuadrados perfectos
En el tema "Productos Notables" se estudió que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual a una diferencia de cuadrados perfectos, por ejemplo:
El proceso reverso de esta operación corresponde a la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos.
Ejemplo 1:
Factorizar [math]1-16a^4\,[/math]
Analizamos: El binomio es una diferencia y ambos términos tienen raíz cuadrada. Calculamos las raíces:
- [math]\sqrt{1}=1[/math]
- [math]\sqrt{16a^4}=4a^2[/math]
El resultado de la factorización es:
Binomios conjugados
Ejemplo 2:
Factorizar [math](m+n)^2-(a-b)^2\,[/math].
Analizamos: El binomio es una diferencia y ambos términos (compuestos) tienen raíz cuadrada. Calculamos las raíces:
- [math]\sqrt{(m+n)^2}=(m+n)[/math]
- [math]\sqrt{(a-b)^2}=(a-b)[/math]
El resultado de la factorización es:
Binomios conjugados
b) Suma o diferencia de cubos perfectos
Las reglas de factorización para la suma de cubos y la diferencia de cubos son:
- Regla 1: [math]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,[/math]
- Regla 2: [math]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,[/math]
Ejemplo 1:
Factorizar [math]x^3+27\,[/math]
Aplicando la Regla 1 (suma de cubos perfectos):
| Obtenemos la raíz cúbica de [math]x^3\,[/math]: [math]\sqrt[3]{x^3}=x^{\tfrac{3}{3}}=x^1=x[/math] |
Obtenemos la raíz cúbica de [math]27\,[/math]: [math]\sqrt[3]{27}=3[/math] |
| Obtenemos el cuadrado de [math]x\,[/math]: [math](x^1)^2=x^{1 \cdot 2}=x^2\,[/math] |
Obtenemos el cuadrado de [math]3\,[/math]: [math](3^1)^2=3^{1 \cdot 2}=3^2=9\,[/math] |
El resultado de la factorización es:
Ejemplo 2:
Factorizar [math]x^6-b^9\,[/math]
Aplicando la Regla 2 (diferencia de cubos perfectos):
| Obtenemos la raíz cúbica de [math]x^6\,[/math]: [math]\sqrt[3]{x^6}=x^{\tfrac{6}{3}}=x^2[/math] |
Obtenemos la raíz cúbica de [math]b^9\,[/math]: [math]\sqrt[3]{b^9}=b^{\tfrac{9}{3}}=b^3[/math] |
| Obtenemos el cuadrado de [math]x^2\,[/math]: [math](x^2)^2=x^{2 \cdot 2} =x^4\,[/math] |
Obtenemos el cuadrado de [math]b^3\,[/math]: [math](b^3)^2=b^{3 \cdot 2} =b^6\,[/math] |
El resultado de la factorización es:
Factorizar trinomios
Los trinomios son expresiones algebraicas que contienen tres términos. La factorización de trinomios es, al igual que en los binomios, un proceso muy importante en álgebra.
Ejemplos de trinomios
| [math]a+b+c\,[/math] | [math]6x^2-4xyz+yz\,[/math] | [math]-mn^3-n^3-5m\,[/math] | [math]-1-m^2n+mn\,[/math] |
a)Trinomio cuadrado perfecto
- Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, es decir, el producto de dos factores iguales. Por ejemplo, [math]36m^2n^2\,[/math] es el cuadrado perfecto de [math]6mn\,[/math], puesto que [math](6mn)^2=6mn \cdot 6mn=36m^2n^2\,[/math].
- Todos los cuadrados perfectos tienen dos raíces: una con signo positivo y la otra con signo negativo, es decir, que en el ejemplo anterior también es válida la igualdad: [math](-6mn)^2=(-6mn)\cdot (-6mn)=36m^2n^2[/math].
- Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, el producto de dos binomios iguales. Por ejemplo, [math]a^2+2ab+b^2\,[/math] es el trinomio cuadrado perfecto de [math](a+b)^2\,[/math] ya que
Reglas para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
Sea el trinomio [math]a^4+2a^2b^3+b^9\,[/math],
- El primero y tercer términos son cuadrados perfectos y positivos
- El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término
Así, [math]a^4+2a^2b^3+b^9\,[/math] es un trinomio cuadrado perfecto porque:
- [math]\sqrt {a^4}=a^2[/math] ............... el primer término es un cuadrado perfecto y positivo.
- [math]\sqrt {a^4}=a^2[/math] ............... el primer término es un cuadrado perfecto y positivo.
- [math]\sqrt {b^9}=b^3[/math] ............... el tercer término es un cuadrado perfecto y positivo.
- [math]\sqrt {b^9}=b^3[/math] ............... el tercer término es un cuadrado perfecto y positivo.
- [math]2a^2b^3\,[/math] ....................... es el doble producto de las raíces cuadradas de el primer y tercer término (puede ser positivo o negativo
Ejemplo 1.
Factorizar [math]a^2-6a+9\,[/math]
1.[math]\sqrt {a^2}=a[/math]
2.[math]\sqrt {9} = 3[/math]
3.Se verifica [math]-2 \cdot a \cdot 3=-6a[/math]
Cuando el doble producto de las raíces cuadradas es negativo, su solución (binomio al cuadrado) es una diferencia:
El resultado de la factorización es:
Factorizar polinomios
No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distindos de la unidad, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles entre ellos mismos y por la "unidad", hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas mismas y por la "unidad", y que, por tanto, no son el productos de otras expresiones algebraicas. Así [math]a+b\,[/math] no puede descomponers en dos factores distinos de [math]1\,[/math] porque sólo es divisible por [math]a+b\,[/math] y por [math]1\,[/math].
a) Monomio como factor común
Factorizar la expresión [math]9a^3b^2+18ab^3\,[/math]
Analizamos el binomio. Obtenemos el factor común:
- Calculamos el máximo común divisor de los coeficientes, es decir m.c.d. ([math]9,18\,[/math])
- [math]9=3^2\,[/math]
- [math]18=3^2 \cdot 2\,[/math]
El único factor común elevado al mínimo exponente es: [math]3^2=9\,[/math]
- Seleccionamos las variables comunes a ambos términos y elegimos el mínimo exponente:
- [math]a\,[/math] y [math]b^2\,[/math]
El factor común es [math]9ab^2\,[/math], por lo que éste es nuestro primer factor, el segundo factor se calcula dividiendo el binomio entre el factor común:
- Primer factor: [math]9ab^2\,[/math]
- Segundo factor: [math](9a^3b^2+18ab^3)\div 9ab^2=a^2+2b\,[/math]
El resultado de la factorización es: [math]9a^3b^2+18ab^3=9ab^2 \cdot (a^2+2b)\,[/math]
b) Polinomio como factor común
Factorizar la expresión [math]m(x-2)+n(x-2)\,[/math]
Analizamos el binomio. Ambos términos contienen el factor común [math](x-2)\,[/math], por lo que éste es nuestro primer factor, el segundo factor se calcula dividiento el binomio entre el factor común:
- Primer factor: [math](x-2)\,[/math]
- Segundo factor: [math]m(x-2)+n(x-2)\div (x-2)=(m+n)\,[/math]
El resultado de la factorización es: [math]m(x-2)+n(x-2)=(x-2) \cdot (m+n)[/math]
Prueba general de factorización
Para cualquiera de los casos que hemos estudiado, la prueba consiste en multiplicar los factores obtenidos, su producto tiene que ser igual a la expresión que se ha factorizado. Si realizas esta prueba te habrás asegurado que la factorización es correcta.
Ejemplo:
Al factorizar la expresión [math]24a^2c^3+6a^3c\,[/math] se obtiene:
La prueba consiste en multiplicar los factores obtenidos. El resultado deberá ser la expresión original:
